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Lösungsweg

1. Unbestimmte Integrale:

1. ∫(3x² + 2x - 1) dx

Lösungsweg:

∫(3x² + 2x - 1) dx = x³ + x² - x + C

2. ∫(sin(x) + cos(x)) dx

Lösungsweg:

∫(sin(x) + cos(x)) dx = -cos(x) + sin(x) + C

3. ∫(e^x + 1/x) dx

Lösungsweg:

∫(e^x + 1/x) dx = e^x + ln|x| + C

2. Bestimmte Integrale:

1. ∫[0, π] sin(x) dx

Lösungsweg:

∫[0, π] sin(x) dx = 2

2. ∫[-2, 2] x³ dx

Lösungsweg:

∫[-2, 2] x³ dx = 0

3. ∫[-∞, ∞] e^(-x²) dx

Lösungsweg:

∫[-∞, ∞] e^(-x²) dx = √(π)

3. Flächenberechnung:

Flächeninhalt zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x - 1 auf [0, 2]:

Lösungsweg:

Fläche = -2/3 (negativ wegen Richtung)

4. Anwendungen von Integralen:

a) Volumen des Rotationskörpers:

Lösungsweg:

V = 0 (die Funktionen schneiden sich auf diesem Intervall)

b) Schwerpunkt des Drahtes:

Lösungsweg:

Schwerpunkt liegt auf der y-Achse (x̄ = 0)