1. Unbestimmte Integrale:
1. ∫(3x² + 2x - 1) dx
Lösungsweg:
∫(3x² + 2x - 1) dx = x³ + x² - x + C
2. ∫(sin(x) + cos(x)) dx
Lösungsweg:
∫(sin(x) + cos(x)) dx = -cos(x) + sin(x) + C
3. ∫(e^x + 1/x) dx
Lösungsweg:
∫(e^x + 1/x) dx = e^x + ln|x| + C
2. Bestimmte Integrale:
1. ∫[0, π] sin(x) dx
Lösungsweg:
∫[0, π] sin(x) dx = 2
2. ∫[-2, 2] x³ dx
Lösungsweg:
∫[-2, 2] x³ dx = 0
3. ∫[-∞, ∞] e^(-x²) dx
Lösungsweg:
∫[-∞, ∞] e^(-x²) dx = √(π)
3. Flächenberechnung:
Flächeninhalt zwischen f(x) = x² und g(x) = 2x - 1 auf [0, 2]:
Lösungsweg:
Fläche = -2/3 (negativ wegen Richtung)
4. Anwendungen von Integralen:
a) Volumen des Rotationskörpers:
Lösungsweg:
V = 0 (die Funktionen schneiden sich auf diesem Intervall)
b) Schwerpunkt des Drahtes:
Lösungsweg:
Schwerpunkt liegt auf der y-Achse (x̄ = 0)
